Бидний тухай
Багш ажилтан
Байгал, нийгмийн аливаа үзэгдлийн математик загварыг дифференциал тэгшитгэлээр илэрхийлэх нь түгээмэл бөгөөд энэ чиглэлийн судалгаа нь математикийн онолын шинэ мэдлэгийг бий болгоод зогсохгүй, судлагдаж буй тухайн үзэгдлийн мөн чанарыг ойлгох, ирээдүйн төлвийг тодорхойлоход чухал нөлөөтэй. Сүүлийн жилүүдэд дифференциал тэгшитгэлийн онолын болон хэрэглээний судалгаа улам улмаар эрчимжиж байна. Физик, хими, биологи, эдийн засаг болон бусад хэрэглээний шинжлэх ухааны олон салбаруудад дифференциал тэгшитгэлийг загварчлалдаа ашигласнаар үр дүн сайтай байдаг нь батлагдсаар байна. Гэсэн хэдий ч, дифференциал тэгшитгэлийн тоон болон аналитик шийдийг олох нь инженер, эрдэмтдийн хувьд асуудал үүсгэсэн хэвээр байна. Манай баг бутархай эрэмбийн уламжлал агуулсан тухайн уламжлалт дифференциал тэгшитгэлийн талаар, квант механикийн загвараас үүдсэн Шредингерийн төрлийн тэгшитгэлүүд зэрэг өргөн хүрээний бодлогуудыг судалж байгаа болно. Мөн үүн дээрээ тулгуурлан тодорхой загваруудын хувьд шийдийг тоон болон симуляцийн аргаар олох туршилтын ажлуудыг эхлүүлээд байна. Энэхүү, судалгааны хүрээнд бид хувьсах коэффициенттэй диффуз хэлбэрийн тэгшитгэлийн ангийг Лигийн бүлгийн онол ашиглан шийдэх ба зарим төрлийн шугаман бус дифференциал тэгшитгэлийн хувь дахь хадгалалтын хуулийг тогтоох юм.
Fractional calculus, in particular, fractional differential equations (FDEs) is an emerging field in applied and theoretical mathematics with many applications in a variety of the related fields of science and engineering. Especially during last years, theory and applications of FDEs had a rapid development and it’s been recognized as an excellent tool for describing complex systems and processes in many applied sciences including physics, chemistry, biology, and economics. The main reason of the popularity of FDEs is that these type equations more accurately model a given physical system or process than conventional differential equations (of integer orders). On the other hand, solving a given FDEs is often a challenging task. Thus, the primary goal of our research is to solve a certain class of FDEs, namely fractional diffusion equations with a variable diffusivity coefficient by using Lie group theory and find conservation laws for some non-linear FDEs. Solving fractional diffusion equations with generic forms of the diffusivity coefficient is an open and challenging problem in mathematics. In general, the diffusivity coefficient plays an important role for advection-diffusion type differential equations. This coefficient might have a certain form and can depend on space or/and time variables. In the framework of the current research project, we plan to apply our method (of finding solutions under invariant subgroups of the Lie group) to fractional diffusion equations where the diffusivity coefficient depends on both space-time variables. As mentioned above, it is still an open mathematical problem. Lastly, we would like to recall that Emily Noether, one of the greatest mathematicians of the nineteenth century, formalized her famous theorem (Noether’s theorem) by establishing the relationship between symmetries and conservation laws of differential equations. Conservation laws are used to establish various properties of physical processes that are modeled via given (fractional) differential equations. Therefore within the current research project, we also plan to find conservation laws for a certain class of non-linear fractional diffusion equations.
Түлхүүр үгс:Энэ төсөлд бид хувьсах коэффициенттэй, шугаман, бутархай уламжлалт эвoлюцийн систем тэгшитгэлийн Ли симметр анализыг хийнэ. Үүний тулд, бид бутархай уламжлалт системийн өргөтгөсөн багасаж барагдахгүй хэмжигдэхүүний өөрсдийн олсон томъёог ашиглан, уг эвoлюцийн системийн бүлгэн ангиллыг хийгээд зогсохгүй ангилал тус бүр дээр ядаж нэг жинхэнэ (ойролцоо бус) инвариант шийдийг олох зорилго тавьж байна. Улмаар олсон шийдүүдээ өмнө судлагдсан ажлын шийдүүдтэй хэрхэн нийцэж байгааг тодруулах хүсэлтэй байна. Бидний сонирхож буй бутархай систем нь диффуз-долгионы тэгшитгэл болох бөгөөд параметрийн тодорхой утгад диффузийн эсвэл долгионы тэгшитгэлд шилждэг сонирхолтой шинж чанартай юм. Жинхэнэ шийдийг олсны дараагаар энэ шилжилт хэрхэн хийгдэж байгааг харахад улам хялбар болно. Мөн атомын харилцан үйлчлэлийг загварчилдаг тухайн уламжлалт дифференциал тэгшитгэл болох Шредингерийн тэгшитгэлийг анализын аргуудыг, мөн диффузийн тэгшитгэлийг Ли бүлгийн онолыг ашиглан судлах болно. Төрөл бүрийн потенциал бүхий Шредингерийн тэгшитгэлийн хувьд спектр болон сарнилын бодлогыг авч үзэх явцад Шредингерийн операторын хувьд долгионы операторыг судлах шаардлагатай болдог. Энэ операторын зааглагдсан эсэхийг тогтоовол нь буцаад шийдийн огторгуйг тодорхойлох боломжийг олгодог учраас олон эрдэмтдийн сонирхлыг татсан асуудал юм. Шредингерийн операторын хувьд потенциалыг хугацаанаас хамаарсан функц байх тохиолдлыг авч үзэх, мөн орны харилцан үйлчлэлийг нэмж тооцох зэрэг нь математикийн хувьд зайлшгүй авч үзэх өргөтгөлүүд юм.
Энэ төсөлд бид хувьсах коэффициенттэй, шугаман, бутархай уламжлалт эвoлюцийн систем тэгшитгэлийн Ли симметр анализыг хийнэ. Үүний тулд, бид бутархай уламжлалт системийн өргөтгөсөн багасаж барагдахгүй хэмжигдэхүүний өөрсдийн олсон томъёог ашиглан, уг эвoлюцийн системийн бүлгэн ангиллыг хийгээд зогсохгүй ангилал тус бүр дээр ядаж нэг жинхэнэ (ойролцоо бус) инвариант шийдийг олох зорилго тавьж байна. Улмаар олсон шийдүүдээ өмнө судлагдсан ажлын шийдүүдтэй хэрхэн нийцэж байгааг тодруулах хүсэлтэй байна. Бидний сонирхож буй бутархай систем нь диффуз-долгионы тэгшитгэл болох бөгөөд параметрийн тодорхой утгад диффузийн эсвэл долгионы тэгшитгэлд шилждэг сонирхолтой шинж чанартай юм. Жинхэнэ шийдийг олсны дараагаар энэ шилжилт хэрхэн хийгдэж байгааг харахад улам хялбар болно. Мөн атомын харилцан үйлчлэлийг загварчилдаг тухайн уламжлалт дифференциал тэгшитгэл болох Шредингерийн тэгшитгэлийг анализын аргуудыг, мөн диффузийн тэгшитгэлийг Ли бүлгийн онолыг ашиглан судлах болно. Төрөл бүрийн потенциал бүхий Шредингерийн тэгшитгэлийн хувьд спектр болон сарнилын бодлогыг авч үзэх явцад Шредингерийн операторын хувьд долгионы операторыг судлах шаардлагатай болдог. Энэ операторын зааглагдсан эсэхийг тогтоовол нь буцаад шийдийн огторгуйг тодорхойлох боломжийг олгодог учраас олон эрдэмтдийн сонирхлыг татсан асуудал юм. Шредингерийн операторын хувьд потенциалыг хугацаанаас хамаарсан функц байх тохиолдлыг авч үзэх, мөн орны харилцан үйлчлэлийг нэмж тооцох зэрэг нь математикийн хувьд зайлшгүй авч үзэх өргөтгөлүүд юм.
Түлхүүр үгс:Математик физикийн онолын загвар болох телеграфын тэгшитгэлд хүргэдэг бутархай уламжлалт системийн шийдийг байгуулж, тэдгээр нь параметрын тодорхой утгуудад сонгодог телеграфын тэгшитгэлийн шийдийг өгдөг болохыг симуляцийн аргаар харуулна. Уул уурхайн үйл ажиллагааг математик талаас нь тайлбарлаж, үйлдвэрлэлийг илүү оновчтойгоор удирдан явуулахад туслах процессын математик загварыг боловсруулна. Математик загвараа баталгаажуулсан симуляцийн дүнг бодит процессийн үр дүнтэй харьцуулсан харьцуулалтыг хийнэ. Энэ шинжилгээ нь өөр бусад уурхай дээр явагдах ижил төстэй процессуудыг тайлбарлах, дамжуулах бололцоог олгохоос гадна цаашид уул уурхайд илүү өндөр түвшний математик шинжилгээг хийх ажлын үндэс болж өгнө.
We find exact solutions for classes of nonlinear systems of time fractional differential equations, leading to the telegraph equations and show that for some values of parameters they give solutions of the classical telegraph equations using simulation methods. Also we describe industrial processes of a mining company by using mathematical modeling and reproduce the behaviour of a process by running simulations (on computer). Analyzing the results of repeatable experiments and comparing with real data, we will propose appropriate mathematical model for the particular industrial processes.
Түлхүүр үгс:
