Бидний тухай
Багш ажилтан
Бидний судалгааны ажлын нэг чиглэл болох Шредингерийн тэгшитгэлийн шийд, харгалзах операторуудын судалгаа нь функционал анализын хэрэглээ болох тухайн уламжлалт тэгшитгэл, Фурье болон гармоник анализ зэрэг чиглэлүүдийг хамардаг. Энэхүү судалгааны хүрээнд бид би-Шредингерийн операторын долгионы операторын Lp-зааглагдах чанарыг авч үзэх бөгөөд энэ чиглэлийн судалгааны ажил нь сүүлийн үед олон эрдэмтдийн анхаарлын төвд байгаа бөгөөд огторгуйн хэмжээс болон тэг спектрийн онцлогоос хамаарсан [1], [2], [3], [4], [5] гэсэн цуврал ажлуудыг дурьдаж болно. Энд тус төслийн гишүүдийн оролцоотойгоор хэвлэгдсэн [6] ажлыг онцолж болно. Энэ төслийн хүрээнд өмнө хийж буй судалгааны ажлыг үргэлжлүүлэн, өмнө шийдэгдээгүй тохиолдол болох 2 хэмжээст огторгуйд тэг спектр нь сингуляр байх үед долгионы операторын Lp-зааглагдах эсэх талаар судлах болно. Огторгуйн хэмжээс 2 бол хамгийн ярвигтай тохиолдол бөгөөд 1 хэмжээст үед [4], 3 хэмжээст үед [3], 4 хэмжээст үед [6], 4-өөс дээш үед [1], [5] ажлууд дээр авч үзсэн болно. 2 хэмжээст тохиолдолд шийд хугацаанаас хамаарч унах хурдыг тодорхойлсон ажлыг [2] ажил дээр хийсэн боловч долгионы операторын Lp-зааглагдах эсэх нь одоог хүртэл нээлттэй үлдээд байгаа юм. Үүнээс гадна функционал анализын чухал чиглэл болох Гильберт болон банах огторгуйн онолыг дүрс боловсруулалтын бодлогуудад хэрэглэвэл оновчтой, шинэлэг үр дүнгүүдийг гарган авах боломжийг бүрдүүлдэг. Тухайлбал Фурье хувиргалт, Габор хувиргалт, вейвлетийн онол дээр суурилсан шинэлэг аргуудыг боловсруулж, төрөл бүрийн зураг, дүрснээс хэрэгцээт мэдээллийг гаргаж авдаг. Тус төслийн багийнхан ХААИС-ийн багш, профессоруудтай хамтран хээрийн бүсийн бэлчээрийн доройтлыг дрон болон сансрын зургаас ангилал хийх асуудал дээр хамтран ажиллаж байна. Тухайлбал [7], [8] нь Монгол орны хээрийн бүс дээр хийгдсэн ижил төрлийн ажлууд бөгөөд ангилах арга, төрөл зүйлээрээ ялгаатай юм. Тус багийн гишүүдийн өмнө гаргасан үр дүнг сайжруулж, бэлчээрийн доройтлын шинэ индикатор боловсруулна.
One of our research areas, the study of solutions to the Schrödinger equation and the corresponding operators, covers the application of functional analysis to differential equations, Fourier and harmonic analysis. In this study, we will consider the Lp-boundedness of the wave operator of the bi-Schrödinger operator, which has been the focus of much research recently, and many cases depending on the dimensions of the space and the characteristics of the zero spectrum have been considered in a series of works [1], [2], [3], [4], [5]. Here, we can highlight the work [6] published with the participation of members of the project. In this project, we will continue our previous research work and investigate whether the wave operator is Lp-bounded in a previously unsolved case, when the zero spectrum is singular in a 2-dimensional space. The spatial dimension of 2 is the most complicated case, and it has been considered in 1 dimensional case in [4], 3 dimensional case in [3], 4 dimensional in [6], and more than 4 dimensional case in [1], [5]. In the 2 dimensional case, the rate of decay in time was estimated in [2], but the problem of Lp-boundedness of the wave operators is still open. In addition, the application of Hilbert and Banach space theory, an important area of functional analysis, to image processing problems provides the opportunity to obtain rational and innovative results. For example, innovative methods based on Fourier transform, Gabor transform, and wavelet theory are developed to extract useful information from various images. The project team is working with professors of the Mongolian University of Life Sciences on the problem of classifying pasture degradation in the steppe region from drones and satellite images. For example, [7] and [8] are similar works conducted in the steppe region of Mongolia, but differ in their classification methods and species. The team members will improve on the previous results and develop a new indicator of pasture degradation.
Түлхүүр үгс:Байгал, нийгмийн аливаа үзэгдлийн математик загварыг дифференциал тэгшитгэлээр илэрхийлэх нь түгээмэл бөгөөд энэ чиглэлийн судалгаа нь математикийн онолын шинэ мэдлэгийг бий болгоод зогсохгүй, судлагдаж буй тухайн үзэгдлийн мөн чанарыг ойлгох, ирээдүйн төлвийг тодорхойлоход чухал нөлөөтэй. Сүүлийн жилүүдэд дифференциал тэгшитгэлийн онолын болон хэрэглээний судалгаа улам улмаар эрчимжиж байна. Физик, хими, биологи, эдийн засаг болон бусад хэрэглээний шинжлэх ухааны олон салбаруудад дифференциал тэгшитгэлийг загварчлалдаа ашигласнаар үр дүн сайтай байдаг нь батлагдсаар байна. Гэсэн хэдий ч, дифференциал тэгшитгэлийн тоон болон аналитик шийдийг олох нь инженер, эрдэмтдийн хувьд асуудал үүсгэсэн хэвээр байна. Манай баг бутархай эрэмбийн уламжлал агуулсан тухайн уламжлалт дифференциал тэгшитгэлийн талаар, квант механикийн загвараас үүдсэн Шредингерийн төрлийн тэгшитгэлүүд зэрэг өргөн хүрээний бодлогуудыг судалж байгаа болно. Мөн үүн дээрээ тулгуурлан тодорхой загваруудын хувьд шийдийг тоон болон симуляцийн аргаар олох туршилтын ажлуудыг эхлүүлээд байна. Энэхүү, судалгааны хүрээнд бид хувьсах коэффициенттэй диффуз хэлбэрийн тэгшитгэлийн ангийг Лигийн бүлгийн онол ашиглан шийдэх ба зарим төрлийн шугаман бус дифференциал тэгшитгэлийн хувь дахь хадгалалтын хуулийг тогтоох юм.
Fractional calculus, in particular, fractional differential equations (FDEs) is an emerging field in applied and theoretical mathematics with many applications in a variety of the related fields of science and engineering. Especially during last years, theory and applications of FDEs had a rapid development and it’s been recognized as an excellent tool for describing complex systems and processes in many applied sciences including physics, chemistry, biology, and economics. The main reason of the popularity of FDEs is that these type equations more accurately model a given physical system or process than conventional differential equations (of integer orders). On the other hand, solving a given FDEs is often a challenging task. Thus, the primary goal of our research is to solve a certain class of FDEs, namely fractional diffusion equations with a variable diffusivity coefficient by using Lie group theory and find conservation laws for some non-linear FDEs. Solving fractional diffusion equations with generic forms of the diffusivity coefficient is an open and challenging problem in mathematics. In general, the diffusivity coefficient plays an important role for advection-diffusion type differential equations. This coefficient might have a certain form and can depend on space or/and time variables. In the framework of the current research project, we plan to apply our method (of finding solutions under invariant subgroups of the Lie group) to fractional diffusion equations where the diffusivity coefficient depends on both space-time variables. As mentioned above, it is still an open mathematical problem. Lastly, we would like to recall that Emily Noether, one of the greatest mathematicians of the nineteenth century, formalized her famous theorem (Noether’s theorem) by establishing the relationship between symmetries and conservation laws of differential equations. Conservation laws are used to establish various properties of physical processes that are modeled via given (fractional) differential equations. Therefore within the current research project, we also plan to find conservation laws for a certain class of non-linear fractional diffusion equations.
Түлхүүр үгс:Энэ төсөлд бид хувьсах коэффициенттэй, шугаман, бутархай уламжлалт эвoлюцийн систем тэгшитгэлийн Ли симметр анализыг хийнэ. Үүний тулд, бид бутархай уламжлалт системийн өргөтгөсөн багасаж барагдахгүй хэмжигдэхүүний өөрсдийн олсон томъёог ашиглан, уг эвoлюцийн системийн бүлгэн ангиллыг хийгээд зогсохгүй ангилал тус бүр дээр ядаж нэг жинхэнэ (ойролцоо бус) инвариант шийдийг олох зорилго тавьж байна. Улмаар олсон шийдүүдээ өмнө судлагдсан ажлын шийдүүдтэй хэрхэн нийцэж байгааг тодруулах хүсэлтэй байна. Бидний сонирхож буй бутархай систем нь диффуз-долгионы тэгшитгэл болох бөгөөд параметрийн тодорхой утгад диффузийн эсвэл долгионы тэгшитгэлд шилждэг сонирхолтой шинж чанартай юм. Жинхэнэ шийдийг олсны дараагаар энэ шилжилт хэрхэн хийгдэж байгааг харахад улам хялбар болно. Мөн атомын харилцан үйлчлэлийг загварчилдаг тухайн уламжлалт дифференциал тэгшитгэл болох Шредингерийн тэгшитгэлийг анализын аргуудыг, мөн диффузийн тэгшитгэлийг Ли бүлгийн онолыг ашиглан судлах болно. Төрөл бүрийн потенциал бүхий Шредингерийн тэгшитгэлийн хувьд спектр болон сарнилын бодлогыг авч үзэх явцад Шредингерийн операторын хувьд долгионы операторыг судлах шаардлагатай болдог. Энэ операторын зааглагдсан эсэхийг тогтоовол нь буцаад шийдийн огторгуйг тодорхойлох боломжийг олгодог учраас олон эрдэмтдийн сонирхлыг татсан асуудал юм. Шредингерийн операторын хувьд потенциалыг хугацаанаас хамаарсан функц байх тохиолдлыг авч үзэх, мөн орны харилцан үйлчлэлийг нэмж тооцох зэрэг нь математикийн хувьд зайлшгүй авч үзэх өргөтгөлүүд юм.
Энэ төсөлд бид хувьсах коэффициенттэй, шугаман, бутархай уламжлалт эвoлюцийн систем тэгшитгэлийн Ли симметр анализыг хийнэ. Үүний тулд, бид бутархай уламжлалт системийн өргөтгөсөн багасаж барагдахгүй хэмжигдэхүүний өөрсдийн олсон томъёог ашиглан, уг эвoлюцийн системийн бүлгэн ангиллыг хийгээд зогсохгүй ангилал тус бүр дээр ядаж нэг жинхэнэ (ойролцоо бус) инвариант шийдийг олох зорилго тавьж байна. Улмаар олсон шийдүүдээ өмнө судлагдсан ажлын шийдүүдтэй хэрхэн нийцэж байгааг тодруулах хүсэлтэй байна. Бидний сонирхож буй бутархай систем нь диффуз-долгионы тэгшитгэл болох бөгөөд параметрийн тодорхой утгад диффузийн эсвэл долгионы тэгшитгэлд шилждэг сонирхолтой шинж чанартай юм. Жинхэнэ шийдийг олсны дараагаар энэ шилжилт хэрхэн хийгдэж байгааг харахад улам хялбар болно. Мөн атомын харилцан үйлчлэлийг загварчилдаг тухайн уламжлалт дифференциал тэгшитгэл болох Шредингерийн тэгшитгэлийг анализын аргуудыг, мөн диффузийн тэгшитгэлийг Ли бүлгийн онолыг ашиглан судлах болно. Төрөл бүрийн потенциал бүхий Шредингерийн тэгшитгэлийн хувьд спектр болон сарнилын бодлогыг авч үзэх явцад Шредингерийн операторын хувьд долгионы операторыг судлах шаардлагатай болдог. Энэ операторын зааглагдсан эсэхийг тогтоовол нь буцаад шийдийн огторгуйг тодорхойлох боломжийг олгодог учраас олон эрдэмтдийн сонирхлыг татсан асуудал юм. Шредингерийн операторын хувьд потенциалыг хугацаанаас хамаарсан функц байх тохиолдлыг авч үзэх, мөн орны харилцан үйлчлэлийг нэмж тооцох зэрэг нь математикийн хувьд зайлшгүй авч үзэх өргөтгөлүүд юм.
Түлхүүр үгс:Математик физикийн онолын загвар болох телеграфын тэгшитгэлд хүргэдэг бутархай уламжлалт системийн шийдийг байгуулж, тэдгээр нь параметрын тодорхой утгуудад сонгодог телеграфын тэгшитгэлийн шийдийг өгдөг болохыг симуляцийн аргаар харуулна. Уул уурхайн үйл ажиллагааг математик талаас нь тайлбарлаж, үйлдвэрлэлийг илүү оновчтойгоор удирдан явуулахад туслах процессын математик загварыг боловсруулна. Математик загвараа баталгаажуулсан симуляцийн дүнг бодит процессийн үр дүнтэй харьцуулсан харьцуулалтыг хийнэ. Энэ шинжилгээ нь өөр бусад уурхай дээр явагдах ижил төстэй процессуудыг тайлбарлах, дамжуулах бололцоог олгохоос гадна цаашид уул уурхайд илүү өндөр түвшний математик шинжилгээг хийх ажлын үндэс болж өгнө.
We find exact solutions for classes of nonlinear systems of time fractional differential equations, leading to the telegraph equations and show that for some values of parameters they give solutions of the classical telegraph equations using simulation methods. Also we describe industrial processes of a mining company by using mathematical modeling and reproduce the behaviour of a process by running simulations (on computer). Analyzing the results of repeatable experiments and comparing with real data, we will propose appropriate mathematical model for the particular industrial processes.
Түлхүүр үгс:
