Бидний тухай
Багш ажилтан
Өнөөг хүртэл шийдлээ хүлээж буй Тооны Онолын салбарт хамаарах нэгэн чухал асуудал нь нэг хувьсагчийн n зэргийн олон гишүүнтийг хялбарчлах тухай Гилбертийн дэвшүүлсэн арван гурав дугаар проблемын алгебрлаг хувилбар юм. Сүүлийн жилүүдэд “салшгүй хэмжээс” гэсэн ойлголтын тусламжтайгаар энэ чиглэлд ихээхэн ахиц дэвшил гарч байгаа болно. Энэ ойлголтыг 1990-ээд оны сүүлээр Buhler (Америк), Reichstein (Канад) нар тодорхойлсон ба энэ ойлголт нь квадратлаг хэлбэр, энгийн алгебр, torsor-ууд, стак модулиуд, бүлгийн болон алгебрын дүрслэлүүд гэх мэт олон чухал ач холбогдолтой объектуудтай холбогддог (Reichstein [1]-ийг харна уу). Энэ чиглэлийн судалгаанд алгебрлаг бүлгийн versal torsor-ийг судлах, байгуулах нь үр дүнтэй байдаг ба геометр арга, техникүүдийг ашиглах боломжийг олгодгоороо онцлогтой. Төслийн хүрээнд төгсгөлөг G бүлгээр тодорхойлогдох H^1(-,G) функторыг бид судлах болно. Ямар ч K талбарын хувьд нэгдүгээр когомологи H^1(K, G) нь K дээрх G-torsor-ийн изоморфизмын ангиудаар тодорхойлогддог ба K дээрх бүх Галуагийн G-алгебрыг ангилдаг. Төслийг дэвшүүлэх гол шалтгаан болсон 1. versal torsor-уудыг Галуагийн G-алгебраар илэрхийлэх, 2. судлагдахууны универсал чанарыг versal torsor-оор судлах гэсэн зүй ёсны асуултууд бидний судалгааг чиглүүлэх болно. Бидний авч үзэж буй "versal" гэдгээр "universal" гэсэн ойлголтыг бага зэрэг сулруулсан хувилбарыг ойлгоно. Учир нь universal torsor оршин байх албагүй боловч versal torsor үргэлж оршин байдаг. Энэ чиглэлээр бидний гүйцэтгэсэн судалгааны ажил 2007 оноос эхэлсэн ба уг ажилд алгебрлаг tori-ийг ашиглан хамгийн бага хэмжээстэй versal чанартай цикл torsor-ийг байгуулсан ([2]-ийг харна уу). [1] Z. Reichstein, Essential dimension, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, vol. II, 162-188, Hindustan Book Agency, New Delhi, 2010. Hyderabad, India, 2010
The problem of simplifying polynomials of degree n in one variable may be viewed as an algebraic variant of Hilbert’s 13th problem. This problem is one of the long-standing problems in number theory. In recent decades, considerable progress has been made in the area with the introduction of essential dimension. This notion is introduced by Buhler-Reichstein in the late 1990s and is of interest in many contexts: quadratic forms, central simple algebras, torsors, moduli stacks, representations of groups and algebras, etc (cf. Reichstein [1]). An effective approach is to study and to construct versal torsors for algebraic groups. A key advantage of this approach is that it allows us to apply techniques of algebraic geometry. In this project, we restrict our attention to the functor H^1(-,G) for a finite group G. An important feature of this functor is that the first cohomology H^1(K, G) is defined as the isomorphism classes of G-torsors over K and classifies all Galois G-algebras over K for any field K. The following natural questions, which are indeed the main reason for proposing the project, will guide our research: 1. describe versal G-torsors in terms of Galois G-algebras, 2. derive generic properties from versal torsors. Note that generic G-torsors do not exist in general while versal G-torsors always exist. [1] Z. Reichstein, Essential dimension, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, vol. II, 162-188, Hindustan Book Agency, New Delhi, 2010. Hyderabad, India, 2010
Түлхүүр үгс:Ли бүлэг дээрх гармоник анализ нь олон салбарын уулзварт эрчимтэй хөгжиж буй физик, хими, эдийн засаг зэрэг шинжлэх ухааны бусад салбаруудад өргөн хэрэглэгддэг математикийн орчин үеийн судалгааны тэргүүлэх чиглэл юм. Энэ чиглэлээр хамтарч ажиллах боломжтой хоорондоо хамааралгүй чиглэлээр судалгаа хийдэг дотоодын судлаачдын үйл ажиллагааг энэ сэдэвт ажлаар нэг чиглэлд тѳвлѳрүүлэхийг зорьж байна. Сэдэвт ажлын хүрээнд дүрслэлийн онолын тусламжтайгаар олон хувьсагчийн автоморфик хэлбэрүүдийн судлах, дүрслэлийн бүтэцтэй холбоотой асуудлыг К-онол болон операторын онолын үүднээс судлах, судалгааны арга техникүүдийг дискрет болон комбинаторик хэлбэрээр судлах, диффузи ба долгионы тэгшитгэлийн хувьд тавигдсан захын утгат бодлогын аналитик шийдийг Ли симметрийн анализ ашиглан судлах зэрэг ажлуудыг гүйцэтгэнэ. Мѳн оюутан, магистрант, докторантуудад зориулсан олон улсын сургалт, семинарууд явуулна.
Harmonic analysis on Lie group is an active research area of modern mathematics concerned with the representation of functions on lie group, and has become a vast subject with applications in areas as diverse as physics, chemistry, and economics. The aim of the project is to create possibilities for cooperation between local researchers who are able to collaborate in this field. The objectives of the project include the study of automorphic forms of many variables, K-theory and operator theory approach related to the representation theory, discrete and combinatorial methods, analytical solutions of boundary value problems for diffusion and wave equations, applications of the Lie's theory. We also organize seminars for researchers, and host international faculty and/or scholars for intensive mathematics courses, at the advanced undergraduate or master level.
Техник технологийн хурдацтай хөгжлийн нөлөөгөөр өнөө үед асар их өгөгдлүүд шинээр тасралтгүй үүсэн хуримтлагдаж байна. Хуримтлагдсан өгөгдлийн хэмжээнээс гадна зөв боловсруулалт хийгдсэн эсэхээс өгөгдлийн үнэ цэнэ, цаашид шийдвэр гаргах төвшний мэдлэг болох эсэх нь хамаардаг. Өөрөөр хэлбэл, цугларсан өгөгдлийг хэрхэн зөв зохион байгуулж хадгалах, хамгаалах, хэрхэн хэрэгтэй мэдээлэл, мэдлэг болгон гаргах зэрэг нь судлах, улмаар шийдвэрлэх шаардлагатай чухал асуудлууд юм. Энэ чиглэлийн судалгаа сүүлийн жилүүдэд өргөн хүрээнд маш эрчимтэйгээр хийгдсэн ба судалгааны үр дүнгүүдэд тулгуурлан технологийн маш олон төрлийн шийдлүүд боловсруулагдсан байна. Хэдий тийм боловч хэрэглэгчийн тусгай шаардлагыг тусгасан зорилтот тодорхой судалгааг технологийн болон шинэчлэгдэж буй стандартад нийцүүлэн гүйцэтгэх бодит хэрэгцээ шаардлага байнга тулгарч байдаг. Энэхүү төсөл нь энэ төрлийн судалгааны ажилд хамаарах бөгөөд төслийн хүрээнд хийгдэх судалгааны ажил дараах үндсэн 2 чиглэлээр хийгдэнэ. Үүнд 1. Өгөгдлийг тоон өгөгдөлд шилжүүлэх, 2. Тоон өгөгдлийг дамжуулах, өгөгдөлтэй ажиллах. Төслийн гол зорилго нь хэрэглэгчийн тусгай шаардлагад нийцсэн цаг хугацааны болон нууцлалын орчин үеийн стандарт шаардлагыг хангасан тодорхой аргачлал боловсруулахад оршино. Төслийн үр дүнд хэрэглэгч өөрийн хэрэгцээнд тохируулан хэрэглэх боломжтой аргачлал, аргачлалыг дагуу бэлтгэсэн туршилтын бүтээгдэхүүн, харьцуулсан үнэлгээг хүлээн авна. Төсөлд Монгол улсын их сургуулийн төдийгүй өөр бусад байгууллагад ажилладаг холбогдох мэргэжлийн судлаачид оролцон хамтарч ажиллана. Төслийн гол зорилго нь хэрэглэгчийн тусгай шаардлагад нийцсэн цаг хугацааны болон нууцлалын орчин үеийн стандарт шаардлагыг хангасан тодорхой аргачлал боловсруулахад оршино. Төслийн үр дүнд хэрэглэгч өөрийн хэрэгцээнд тохируулан хэрэглэх боломжтой аргачлал, аргачлалыг дагуу бэлтгэсэн туршилтын бүтээгдэхүүн, харьцуулсан үнэлгээг хүлээн авна. Төсөлд Монгол улсын их сургуулийн төдийгүй өөр бусад байгууллагад ажилладаг холбогдох мэргэжлийн судлаачид оролцон хамтарч ажиллана.
Huge amounts of new data are constantly being created as a result of the rapid development of technology and computer systems. In addition to the amount of data collected, the value of the data depends on how easily when can extract, link, transform, interpret and reuse. In other words, how to properly organize and store and protect the collected data, and how to turn it into useful information and knowledge, are important issues that need to be studied and addressed. Research in this area has been conducted extensively in recent years, and a wide range of technological solutions have been developed as results. Because of the specific needs of the user, it is important to conduct targeted research that solves certain problems. Another key factor is the latest technology standards from reputable organizations. In this framework, the objectives of the project are mainly in the following two areas: 1. Convert data to digital data 2. Secure transmission issues The main goal of this project is to develop a design that meets the specific requirements of the user and privacy according to the technology standards. As a result of the project, the user will receive a design that can be used according to his / her needs. Professional researchers from the National university of Mongolia and other organizations are going to participate in the project. The main goal of this project is to develop a design that meets the specific requirements of the user and privacy according to the technology standards. As a result of the project, the user will receive a design that can be used according to his / her needs. Professional researchers from the National university of Mongolia and other organizations are going to participate in the project.
Түлхүүр үгс:Тооны Онол (Number Theory) нь математикийн хамгийн эртний салбаруудын нэг бөгөөд товчхондоо натурал тооны шинж чанарыг багцлан судалдаг онолын салбар юм. Энэ салбарт математикийн бараг бүх салбарын шинээр гарсан арга, техникүүд хурдацтай нэвтэрч үр дүнд нь нээлттэй асуудлууд шийдэгдэж байдаг бөгөөд энэ утгаараа үргэлж судалгаа, шинжилгээний идэвхтэй талбар болдог ажээ. Энэ төслийн гол зорилго нь тооны онолоор суралцаж буй математикийн тэнхимийн ахисан түвшний оюутнуудыг онолын, элементар, компьютер дахь хэрэглээ гэсэн 3 чиглэлд хамаарах дараах сэдвүүд дээр судалгааны туслахаар ажиллуулах, JCR-IF-тай сэтгүүлд эрдэм шинжилгээний өгүүлэл хэвлүүлэхэд оршино. Тодруулбал: 1. Орчин үеийн математикт хамгийн эрчимтэй хөгжиж буй автоморфик функцийн онолын хамгийн фундаментал ажил болох “Тате’s Ph.D Thesis” дээр ахисан түвшний оюутнуудыг судалгааны туслахаар ажиллуулна. Үүнээс гадна тодорхой Галуагийн өргөтгөлүүд Диксоны олон гишүүнтээр нэг утгатай тодорхойлогддог болохыг нотлох судалгааны ажлыг гүйцээх зорилт тавьж байна. 2. Гармоник нийлбэр болон түүнтэй ойролцоо шинж чанар бүхий дарааллын “p-adic valuations”-ийн ерөнхий зүй тогтлыг судалж гармоник нийлбэрийн хуваагчдын шинж чанарыг тогтоох, “approximation theory” сэдвийн хүрээнд Ротын ажлыг өргөтгөх чиглэлээр хийж буй судалгааны ажилд дэвшил гаргахыг зорьж байна. 3. Алгебрлаг кодын онолын чиглэлээр судалгааны туслах ажиллуулна. Мөн түүнчлэн компьютерын онолын судалгаанд ихээхэн ач холбогдол бүхий “k-automatic” чанартай уялдан 1990-ээд оны үеэс гарч ирсэн “k-regular” чанартай гармоник нийлбэрүүдийг байгуулах судалгааны ажлыг гүйцээх зорилт тавьж байна.
Number theory is one of the oldest branches of mathematics and is concerned with the properties of numbers in general. New methods and techniques in almost all fields of mathematics are rapidly being developed in this field. Those advances have been used to bring about breakthroughs, solve longstanding problems, and raise new inspiring questions. In this sense, this field always becomes an active area of research. The main goal of this project is to hire graduate students in mathematics to engage in research work, which leads to student theses, as well as to publish research articles in journals with JCR-IF. More precisely, 1. Some of graduate students will study the Tate’s thesis which is the starting point for anyone interested in the modern theory of automorphic representations and may be viewed as giving the theory of automorphic representations and L-functions of the simplest reductive group. In the context of Galois theory, connections between Galois extensions over certain fields and Dickson’s polynomials will be studied. 2. In the context of approximation theory, a lot of intensive research work inspired by the famous result of Roth has been conducted for many years, and we plan to finish our research work generalizing some previous known results. We will also focus on certain problems in the field of elementary number theory. In particular, the general characterizations of p-adic valuations of some special sequences will be explored. 3. In connection with the k-automatic property in theoretical computer science, an extensive study of the concept of k-regular property, which appeared in the 1990s, will be conducted. In particular, we plan to construct certain sequences of harmonic sums with k-regular property.
Түлхүүр үгс:
